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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
3.9.
Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones.
a) $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{x} & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
a) $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{x} & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
Respuesta
Arrancamos estudiando $\textbf{continuidad}$ en \( x_0 = 0 \):
Reportar problema
Verificamos las tres condiciones necesarias para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 0 \):
a) \( f(0) = 0 \)
b) Calculamos el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a $0$.
$ \lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x} $
Tenemos un número sobre algo que tiende a cero... ¡Eso nos va a dar infinito! Podríamos abrir por derecha y por izquierda si quisiéramos ver el signo de ese infinito, pero en este caso sólo nos importa que el límite no nos está dando un número... Por lo tanto, $f$ no puede ser continua en $x=0$. Y si ya no es continua en ese punto, tampoco es derivable.